模型能否重现“猞猁–野兔”周期
世界上最著名的生态周期是加拿大的野兔和猞猁：大约每 10 年，它们的数量就会上下波动几十倍。我检验了我的玩具生态系统能否重现它。周期——能，很容易。其他一切——不能。
用真实数据校准模型的试点。问题不是“这对野兔是否成立”，而是“我们能否诚实地把模型与真实序列对比，并看清它在哪里失效”。2026 年 10 月。
模型是第一次迭代中的生态系统，但没有进化：食草动物和捕食者随机游走，能吃就吃。
简而言之
- 约 10 年的周期很容易得到。但这是一个弱检验：周期几乎完全由一个自由旋钮“一年等于多少个模型步”决定。
- 猞猁的滞后无法重现。数据中猞猁的峰值比野兔晚约 1.5 年。模型中晚 2.5–3 年，参数拟合几乎无法改变这一点。
- 波动幅度比现实小 2–3 倍。真实的野兔从谷底到峰值相差约 40 倍，模型只有 3–5 倍。
- 周期的形状对上了，但几乎任何会循环的模型都能给出这种近似正弦的形状。证据很弱。
- 结论：有一个周期正确的循环，但不是真正的猞猁–野兔周期。两个有信息量的指标——滞后和振幅——都没有对上。
数据
1845–1935 年猎人卖给哈德逊湾公司的雪鞋兔和加拿大猞猁毛皮数量。数字未经修改。另用麦肯齐河的猞猁序列（1821–1934）独立检验周期。
| 数据显示 | 数值 |
|---|---|
| 周期 | 约 10 年（麦肯齐河：9.7） |
| 猞猁比野兔滞后多少 | 1.5 年 = 0.15 个周期 |
| 波动幅度，野兔 / 猞猁 | 从谷底到峰值约 40 / 14 倍 |
| 周期中增长阶段的占比 | 两者都约为一半 |
野兔序列明显不如猞猁序列规律——这是毛皮记录的已知特点。
如何比较
- 比较的是形状，不是绝对数字。毛皮不等于种群数量，所以看的是周期、猞猁滞后、振幅和周期形状。
- 容差取自数据本身：每个指标在真实序列的 45 年滑动窗口中波动多少。“对上”表示差异在两倍波动范围以内。
- 只拟合了周期和滞后。用 CMA-ES 算法拟合了九个模型参数（植物生长、野兔代谢和死亡率、猞猁捕猎和死亡率、每年步数）。
- 振幅和形状留作检验，不参与拟合。如果模型是对的，它们应该自己对上。
- 防止拟合噪声：20 个最佳候选在 8 个新的随机种子上重新检验。下面所有数字都来自这些检验。
校准之前：用第一次迭代的参数，猞猁在所有运行中都灭绝。在 96 组随机参数中，两个种群都存活的有 31 组，出现明显周期的有 5 组。这五组中猞猁都滞后 0.28–0.32 个周期。
最好的结果
展示的是质量居中的运行，而不是最好的一次。序列经过标准化，模拟的起点被平移以与野兔的相位对齐。图中没有其他拟合。
注意：标准化掩盖了主要的失败。不做标准化就能看出真实周期要深得多：
修正尝试：野兔多时食物变差
短滞后的经典解释是：野兔在猞猁峰值之前就开始减少，因为它们吃光了食物，植物也会自我防御。我加入了一个简单的反馈：野兔多时，食物质量延迟下降，野兔从进食中获得的能量减少。这就是校准 B。
- 拟合选择了很弱的效应：食物质量只在 0.88 到 0.92 之间波动。
- 不能更强：野兔会吃不饱而灭绝，猞猁随之灭绝。
- 滞后只略有改善（0.27 → 0.25 个周期），振幅没有增大，周期变得更不规律。
- 个别候选给出了约 0.20 的滞后，但周期几乎消失了。在这个模型里，短滞后是以破坏周期为代价换来的。
指标汇总
| 指标 | 数据 | A | B |
|---|---|---|---|
| 周期，年（拟合） | 9.96 | 10.11 ✔ | 9.41 ✔ |
| 猞猁滞后，周期占比（拟合） | 0.15 | 0.27 ✘ | 0.25 ✘ |
| 野兔振幅（留作检验） | 1.62 | 0.71 ✘ | 0.56 ✘ |
| 猞猁振幅（留作检验） | 1.13 | 0.47 ✘ | 0.36 ✘ |
| 野兔增长阶段占比（留作检验） | 0.53 | 0.51 ✔ | 0.51 ✔ |
| 猞猁周期形状（留作检验） | — | ✘ | ✘ |
振幅是高低水平之比的 log10；1.62 约等于 40 倍。✔ 表示差异在数据两倍波动范围以内。B 相对 A 的改进很小，统计上也不可靠，尽管 B 多了两个参数。
为什么很可能对不上
模型中的捕食者“靠能量储备”繁殖，对猎物的反应带有惯性，就像经典的洛特卡–沃尔泰拉模型。这样的系统会卡在约四分之一周期的滞后上。在现实中，野兔似乎在猞猁峰值之前就开始减少：因为食物、压力、其他捕食者。这种限制看起来是结构性的，而不是参数问题。
振幅小可能是因为世界小且具有空间性：56 × 56 网格上只有几百个个体，随机性和局部相遇抑制了大幅波动。
还有一个线索：在拟合出的时间尺度下，模型中的野兔在没有饥饿和捕食者时能活 4–7“年”，而真实的雪鞋兔只活 1–2 年。模型无法产生一个快速更替的猎物种群。
参数确定得如何
很差。在校准 A 中，20 个最佳候选中有 8 个彼此无法区分，猞猁死亡率在它们之间相差 25–40%。在 B 中，20 个里有 11 个无法区分，猞猁代谢相差 6 倍。仅凭周期和滞后，B 的参数几乎无法确定。而且这还是下限：所有候选都来自同一次拟合运行。
有几个参数碰到了允许范围的边界（植物生长取最大值，猞猁代谢取最小值）。这不是精确的信号，而是模型在“勉强”超出合理范围。边界被刻意没有放宽：用奇异的数值来拟合会让结果失去意义。
局限性。数据是毛皮数量，不是种群数量：它取决于毛皮价格、猎人投入和公司物流。滞后恰恰是贸易最可能扭曲的指标。只有一个序列，约 9 个周期，其自身指标就有噪声。周期几乎可以平凡地拟合，所以对上周期是弱成就。模型小且具有空间性，世界大小未被校准。结构变体 B 只有一个且很粗糙（全世界单一的食物质量）。不能保证拟合达到全局最优，尽管 96 个随机循环候选中没有一个滞后低于 0.28。
下一步
- 反向检验：拟合振幅和形状，检验滞后。
- 另一种结构：食物按网格局部延迟再生；更大或“空间性”更弱的世界。
- 观测模型：毛皮 = f（种群数量，猎人投入），带有独立噪声。在使用古数据之前需要这一步，因为那里“代理指标 ≠ 种群数量”的问题更严重。
- 用麦肯齐河序列独立检验：猞猁的周期和振幅。
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